Наскільки математика “(не) відірвана від життя”?


Всім, хто читав чи дивився детективи, відомо, що неможливо знайти винуватця без жодних свідчень з місця злочину. Це здається очевидним, але чомусь такий стан речей в нашому світі спонукає деяких людей сумніватися в можливості пізнавати його взагалі. Це філософське питання я вже обговорював. А цього разу пропоную з’ясувати роль математики в пізнанні.

З давніх часів люди помітили, що багато речей навколо відбуваються з певними закономірностями. Це і зміна дня й ночі, і сезонів, і багато різних явищ навколо, що могли бути як корисними, так і шкодити. Також люди змогли помітити певну схожість між різними закономірностями. Наприклад, є зміна пори доби, а є зміна пори року. Це зовсім різні зміни, але в них є дещо спільне – вони повторюються багато разів в однаковій послідовності:після зими приходить весна, потім – літо, потім – осінь, а потім – знову зима. І завжди після літа прийде саме осінь. Добові зміни зовсім не такі (і за характером і за часом), але в них теж є повторюваність. Приблизно в такий спосіб давні люди могли усвідомити поняття циклічних змін.

Це приклад поняття абстра́ктного, тобто коли ми в своєму мисленні зосереджуємо увагу на важливих для нашої мети властивостях (тут – повторюваність) і відволікаємося від несуттєвих. Саме абстракція дозволяє нам узагалі думати про якісь речі узагальнено. Яскравий та простий приклад математичної абстракції – число. Поняття “п’ять яблук”, “п’ять будинків”, “п’ять слонів” чи “п’ять відвідувачів” є дуже різними, але в них є спільна річ – однакова кількість, яку ми і позначаємо словом “п’ять”. Числа дозволяють нам не тільки рахувати, бо можна подумати ще, наприклад, про “п’ять кілограмів масла” або навіть про “збільшення в п’ять разів”. Ці приклади показують, як наш розум може вдатися до абстракції більш високого рівня – від простого рахування кількості ми в цих прикладах перейшли до вимірювання неперервних речей та обчислення. (Які бувають числа в математиці ви можете прочитати тут). Попри всю складність поняття числа, воно є універсальним в тому сенсі, що під словом “п’ять” ви розумієте те саме, що будь-яка інша людина, з якою ви спілкуєтеся. Ба більше, переклад цього слова на інші мови не потребуватиме жодних додаткових пояснень носіям інших культур (звісно, якщо вони вміють рахувати). Інші математичні поняття також не залежать від контексту культур, носії котрих ними користуються, головне – розуміти саму математику.

Можна сказати, що такі математичні об’єкти, як числа чи вектори існують тільки в нашому розумі. Звісно, це так! Але це не позбавляє їх об’єктивності. Як так стається? Розглянемо на прикладі грошей. Насправді, це річ дуже абстрактна. Вони можуть існувати у вигляді монет, банкнот, знаходитися на банківському рахунку. Але незалежно від “носія” на одну й ту саму суму можна купити однакову кількість товару незалежно від того, в якій формі ви їх платите. Як бачимо, грошова одиниця не є якоюсь конкретною річчю. Вона абстрактна! Її “матеріальний носій” може бути дуже-дуже “умовним”, як рахунок в банку. Але всі можливі роздуми про “відірваність грошей від життя” закінчаться, як тільки ви прийдете в магазин і захочете щось купити.

За число чи вектор нам в магазині не запропонують хліба. Їх узагалі неможна “передати” іншій особі чи якось “володіти” ними. Але якщо цінність грошей обумовлена тим, скільки товару люди готові за неї запропонувати сьогодні, і може змінитися в майбутньому, то властивості математичних об’єктів є незмінними. Наше сьогоднішнє “п’ять” – це таке саме “п’ять”, що в середньовічній Європі чи давньому Вавілоні. Кількість – це щось, що існує в світі незалежно від наших думок. Так само й інші математичні об’єкти, що вдало описують закономірності в навколишньому світі, навіть ті, які від нас не залежать, існували до нас й існуватимуть після нас. А ще, одні й ті самі математичні поняття допомагають нам описувати зовсім різні явища – от яка справжня сила абстрактного мислення! Тому математичні об’єкти можна розуміти як речі, в певному сенсі справжні. І за використання вашого вміння ними оперувати вам можуть запропонувати реальні речі, якими можна володіти.

Можливість описувати світ за допомогою універсальних понять – це, без сумніву, дуже круто! Але крім цього успішною математику робить ще одна річ – математичне доведення. Так називають розмірковування, що відбувається строго за правилами ло́гіки (математичної, звісно) та дозволяє перевірити справедливість одного твердження на підставі інших. Я в цій статті не планував розповідати про всі тонкощі цієї дисципліни, але зараз нам важливо зрозуміти, що в математиці “з нічого” не можна довести ніякого твердження. Завжди є речі, які ми “проголошуємо” істинними з самого початку. Їх називають аксіо́мами або постулатами. І тільки після цього ми можемо перевірити правдивість інших тверджень, що стосуються тих самих речей. Якщо ми прийняли певні аксіоми і виходячи з них довели істинність якогось твердження, то воно називається теоре́мою. І насправді вона означає: “якщо наші аксіоми – правда, тоді і зміст теореми – теж правда”. Не більше, але й не менше!

Прикладом такої математичної системи є евклі́дова геоме́трія, в основі якої лежать п’ять аксіом, а з них виводиться багато-багато теорем про кути, трикутники та інші геометричні фігури. Якщо ви ці аксіоми пам’ятаєте (або прочитали щойно за посиланням), вас може здивувати, що, наприклад, про трикутники там немає ані слова. Однак є теореми, що виводяться з цих аксіом, і там йдеться про трикутники. Ми їх в школі вивчали. Як так? Тут треба згадати про ще один вид тверджень – ви́значення (або дефіні́ції). Це не аксіоми і не теореми. Ми просто говоримо, що певну річ з окресленими властивостями ми називаємо певним словом. Якщо ми візьмемо три точки, що не лежать на одній прямій і сполучимо відрізками, то це називається “трикутник”. А точки і прямі в аксіомах присутні – так що все нормально. Навіщо нам визначення? Все дуже просто: кожного разу замість громіздкої конструкції “три точки, що не лежать на одній прямій, з’єднані відрізками” ми будемо вживати одне слово – “трикутник”. Це зручно. Але потрібно переконатися, що ваш співрозмовник під цим словом розуміє ту саму річ. У випадку трикутника розбіжність визначень малоймовірна. Але для більш складних понять, не обов’язково математичних, вона може стати причиною безсенсовних і безрезультатних суперечок. Іноді їх навіть по телевізору показують.

Настав час прояснити собі, звідки ж беруться аксіоми. І тут ми побачимо, що математика – це справа творча. Можна навіть порівняти її з мистецтвом, або ж навіть назвати її одним з видів мистецтв. Як митець може творити в різних жанрах, так і математик може обирати різні аксіоми на свій смак. Є тільки одне обмеження: якщо ми приймаємо положення з кількох аксіом, то вони не повинні суперечити одна одній. А так – творіть скільки завгодно. Скажімо, якщо взяти аксіоми евклідової геометрії та змінити постулат про паралельність, дозволивши через точку поза прямою провести кілька паралельних прямих, отримаємо геометрію Лобачевського, яка описує зовсім інший простір, але так само є несуперечливою, а отже має право на існування в математичному світі. Математичні моделі з різними постулатами можна розглядати як різні стилі в мистецтві. Тут навіть є свої критерії прекрасного. Наприклад, якщо в основу теорії лягає мала кількість аксіом, але з них вдається довести багато теорем, то це красива теорія.

Як дізнатися, чи є аксіоми істинними? Це питання набуває сенсу, коли ми починаємо описувати світ через інші науки: фізику, соціологію, хімію, лінгвістику тощо. Критерієм істини в будь-якій науці є  відтворюваний дослід. Коли ми використовуємо математику в інших науках, аксіоми обраної моделі стають основними постулатами наукової теорії. За допомогою логіки на підставі цих постулатів науковці та інженери роблять прогнози, які можна перевірити в експериментах. Кожний експеримент, що підтверджує ці прогнози, додає людству підстав для впевненості в тому, що математична модель (втім її аксіоми) відповідає дійсності. 

Буває, що експерименти змушують науковців змінити вибір на користь інших математичних моделей. Наприклад, фізичні досліди, що проводяться в земних умовах, дають нам підстави обрати евклідів простір для опису механічних явищ. Однак для опису руху тіл з суттєво більшими швидкостями, які можливі в космічних масштабах, довелося обрати простір з іншими властивостями. Зазвичай це стається коли ми перевіряємо нашу теорію за зовсім нових умов, або коли з’являється можливість робити вимірювання набагато точніше, ніж було. Це нормальна річ у розвитку науки, і тоді науковці усвідомлюють “межі дії” попередньої моделі, і продовжують використовувати її в цих межах.

Саме тому всі “стилі” і “напрямки” математичного мистецтва є цінними. Одні теорії є простими та зручними, але знаходять використання за обмежених умов. Інші є складнішими, але більш універсальними. Деякі встигли з’явитися лише як “математичні іграшки”. Але скоріш за все в майбутньому і вони знайдуть використання – так вже неодноразово було в історії науки.

Дехто називає математику “царицею наук”, дехто “служницею наук”. Хтось говорить, що математика є мовою, якою формулюють наукові теорії. На мою думку, роль математики в житті людини є суттєво глибша. Ця дисципліна описує культуру мислення, яке дозволяє бути вищим за власні переконання та особисте ставлення до того, що відбувається. Математика не залежить від культурних контекстів, що панують в тому чи іншому суспільстві, а отже дає чудовий засіб, щоб мислити об’єктивно. Вона навіть може допомогти вам зрозуміти, коли ви є в ома́ні. Чи цього достатньо, щоб її вчити? Думаю, так.

Звісно, у світі існують інші точки зору як на математику, так і на науку взагалі, однак тут варто звертати увагу на долю й успішність носіїв цих поглядів. Людина з раціональними поглядами здатна якщо не прогнозувати майбутні зміни, то хоча б усвідомлювати ті, що вже надходять. Натомість “математичне мауглі” в кращому випадку здатне зрозуміти свої власні прагнення, однак напевно не може відрізнити знання про справжній світ від власних упереджень. Як ви думаєте, чи це сприяє успіху? Думаю, що ні.
Отже хотілося би порадити навіть тим, хто взагалі хотів би пов’язати своє життя з мистецтвом, чи чимось “неточним” (хоча саме це поняття є безсенсовним). Якщо ви думаєте, що математика вам в житті не знадобиться, то подумайте хоча би про власну фінансову грамотність. (Ось два приклади, де тут є математика). Я впевнений, що багатьом ця тема цікава. Також я би порадив сприймати математичні формули не як “обмеження польоту вільної думки”, а як ще один можливий погляд на світ. В ньому теж є багато прекрасного і, наприклад, музичні гами чи пропорції в живописі виражаються саме мовою цифр. То ж не обмежуйте себе добровільно, відмовляючись від тих корисних навичок, які вам дасть розуміння математики. Вивчайте її. Всім це “дано”, і нікому не пізно.

Джерелом зображень є сайт pixabay.com

Список моїх математичних статей:

Обговорення

Стаття буде непоганим вступом до більш розгорнутої книжки “Що таке математика” або “Мова математики” тощо.
Дякую автору за низку посилань, що розгортають матеріал.

Facebook Profile photo

Якщо у Вас є відповідні пропозиції, я їх охоче вислухаю

Напишіть відгук

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *