Послідовність – це не тільки риса характеру

Розповідаючи про наближенні розрахунки, я вже згадував про такі важливі математичні об’єкти, як послідо́вності. Я пояснив, що вони важливі для визначення граничного переходу, який лягає в основу багатьох розділів математики: теорії ймовірностей, статистики, математичного аналізу, вищої математики, варіаційного числення та багатьох інших. Однак послідовності можна використовувати не тільки для цього. Є багато простіших випадків, коли вони будуть нам корисні. 

Саме тому цього разу я вам пропоную, замість розкриття великих математичних таємниць, поговорити про прості речі. Ми дізнаємося, як математики записують послідовності у своїх формулах, і застосуємо це на прикладі задачі про кредитування.

Що таке послідовність?

Ми вже знаємо про множину натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, … Вона нескінченна, але зліченна. Якщо в нас буде така сама (або більша – незліченна) множина якихось об’єктів, то ми можемо розставити їх (або частину з них) по порядку. Довільним чином. Ми маємо нескінченно багато способів, як це зробити. Нехай ми обрали якийсь один спосіб. Покажемо поруч два шереги: розставлених нами об’єктів та натуральних чисел.

✌,	😊,	💃,	👻,	👵,	👽,	😎,	👿,	💇,	…	(нескінченно багато)
1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	…	(нескінченно багато)

Побутовою мовою те, що ми зробили, називається пронумерувати наші об’єкти. Ми поставили у відповідність кожному натуральному числу той об’єкт, який знаходиться навпроти нього. Така відповідність називається математи́чною послідо́вністю. Об’єкти, які ми пронумерували, називаються її елеме́нтами. В загальному випадку один і той самий об’єкт може повторюватися (знаходитися біль ніш під одним номером),  але під одним номером завжди знаходиться один об’єкт.

Як можна описати послідовність формулою?

Коли елементами послідовності є числа, або вектори, або інші математичні об’єкти, і вона має закономірність, то ми можемо її описати через математичні формули. Для цього нам треба домовитись про позначення. Домовимося позначати послідовності латинськими літерами:

a = {✌, 😊, 💃, 👻, …}. (це та сама послідовність з прикладу вище)

Маючи на увазі певний елемент, будемо дописувати до літери, що означає послідовність, в нижньому індексі номер елементу: 

a₄ =👻 .

Якщо ми хочемо позначити елемент під невідомим або довільним номером, тоді в нижньому індексі буде не якесь конкретне число, а змінна. Вони теж, як правило, позначаються літерами.

Маючи такі позначення, ми можемо записати багато послідовностей, використовуючи формули без необхідності перелічувати нескінченну кількість елементів. Найпростіший варіант – це коли є послідовність чисел, в якій кожен елемент залежить від індексу. Наприклад:

b_i = 2 i + 3

Пропоную читачеві самостійно перевірити, які числа входять до цієї послідовності і як вони змінюються зі зростанням індексу.

Окрім формул, що описують залежність елементу від індексу, можливо також визначати кожен елемент послідовності через попередній (або кілька попередніх). Наприклад, ось так:

c_i = c_i-1 / 2,

Щоб цілком описати цю послідовність, нам напевно чогось бракує. Треба визначити той елемент, який не має попереднього – перший. Давайте його задамо:

c₁ = 1

Тепер всі елементи послідовності визначені. Така формула для визначення послідовності називається рекуре́нтною. В деяких випадках можна легко перетворити формулу з рекурентної на звичайну, де є залежність тільки від індексу, і навпаки, а іноді це буває неможливо. Щойно вигадані послідовності b і c – можна. Ось рекурентний запис послідовності b:

b₁ = 5, 

b_i = b_i-1 + 2

а ось – “простий” запис послідовності c:

c_i = 0.5^i-1

Про піднесення чисел до ступеня, як в останній формулі, ви можете дізнатися зі статті про числа.

Прогресії

Деякі типи послідовностей зустрічаються в житті настільки часто, що математики навіть вигадали для них окремі назви. Наприклад, якщо кожен наступний елемент послідовності більший за попередній на якусь постійну величину, то така послідовність називається арифмети́чною прогре́сією. Послідовність b, яку ми як приклад розглядали вище, є прикладом арифметичної прогресії. Дійсно, коли ми перетворили її визначення на рекурентне, ми побачили, що кожен наступний елемент на 2 більший за попередній.

Якщо кожний наступний елемент послідовності в якусь постійну кількість разів більший за попередній, тоді це інша прогресія – геометри́чна. Послідовність c з попереднього прикладу є однією з таких. І дійсно:

c_i = 0.5 c_i-1 

Хм! Як цікаво! Кожний наступний елемент в нуль цілих п’ять десятих раза більший за попередній – тобто в два рази менший? Нагадує розповіді чиновників про “негативне зростання”! Але у випадку з чистою математикою й числовими послідовностями, поки вони не означають якихось конкретних явищ, суттєвих відмінностей немає. Половина – це так само число, як і, наприклад, два. Отже дві різні послідовності: d_i = 2d_i-1 та c_i = 0.5c_i-1 є геометричними прогресіями, оскільки в обох наступний елемент визначається множенням попереднього на стале число. При цьому вони мають різні властивості: послідовність c – спадає, а послідовність d – зростає. Але і в цьому вони схожі, бо напрямок змін в обох залишається сталим. Математики такі послідовності називають моното́нними. Отже, замість “негативного зростання” чиновникам краще було би говорити про “монотонну зміну” – це було би грамотно.

Так само для арифметичної прогресії різниця між сусідніми елементами може бути як більша за нуль, так і менша – від’ємна. В першому випадку послідовність зроста́тиме, в другому – спада́тиме, але в обох випадках вона буде моното́нною.

Коли зміни подають у відсотках

Дуже часто в новинах нам розповідають, як щось змінилося на певну кількість відсотків. Давайте розберемося, що ж це означає. Уявімо, що ми почули, що ВВП якоїсь країни виріс в 2019 році на 5%. Ми знаємо, що ВВП вимірюється в грошових одиницях, як до них додавати відсотки? Треба знати, яким був ВВП на рік раніше: ВВП₂₀₁₈, що таке 5% від нього? Один відсоток – це одна сота (0.01), а п’ять відсотків – це п’ять сотих (0.05). Отже

ВВП₂₀₁₉ = ВВП₂₀₁₈ + 0.05 ВВП₂₀₁₈ = 1.05 ВВП₂₀₁₈

Отже, якби в 2018 році ВВП якоїсь країни X був, скажімо, 100 мільярдів доларів, то зростання на 5% значило би, що наступного року він становить 105 мільярдів доларів. Якби щороку було зростання на один і той самий відсоток, тоді послідовність річних ВВП була би геометричною прогресією.

Іноді подача змін у відсотках може вводити нас в оману, наприклад, нехай в якоїсь іншої країни Y ВВП у 2017 році становить 100 мільярдів (щоб нам було легше рахувати), у 2018 році через кризу він знизився на 5%, а в 2019 – знову виріс на 5% від попереднього року. Чи досяг він докризового рівня? Давайте подивимося:

ВВП₂₀₁₈ = ВВП₂₀₁₇ – 0.05 ВВП₂₀₁₇ = 0.95 ВВП₂₀₁₇

ВВП₂₀₁₉ = ВВП₂₀₁₈ + 0.05 ВВП₂₀₁₈ = 1.05 ВВП₂₀₁₈ = 1.05 (0.95 ВВП₂₀₁₇) = 

= (1.05 · 0.95) ВВП₂₀₁₇ = 0.9975 ВВП₂₀₁₇

Бачите, не досяг – бракує 0,25% від початкового рівня, тобто 250 мільйонів! 

Кредити і відсоткові ставки. До чого тут послідовності?

Розглянемо таку задачу: ми позичаємо в кредитора суму. Умови позики такі, що щомісяця до суми боргу додається 1% його величини: D_i = 1.01 D_i-1. Ми прийдемо повертати гроші за рік, скільки треба повернути?

Ми бачимо, що послідовність сум боргу кожного місяця, якщо до нього постійно нараховується відсоток, є геометричною прогресією. Давайте напишемо формулу для суми боргу, щоб порахувати її через потрібну нам кількість місяців. Тільки давайте для зручності будемо нумерувати елементи не з одиниці, а з нуля – нульовий елемент, це борг відразу після позики, перший – через місяць, другий – через два, і так далі. Для зручності розрахунків припустимо, що ми позичаємо одну тисячу: D₀=1000. Через певну кількість місяців борг буде такий: D_i = 1.01ⁱ D₀. Через рік – це через 12 місяців, отже ми будемо повертати D₁₂ = 1.01¹² D₀ ~ 1.12683 D₀ = 1126.83. Ми віддаємо більшу суму, ніж позичали. Ця різниця буде як оплата за користування кредиторськими грошима.

Подивимось тепер, як буде змінюватися борг, якщо ми щомісяця будемо сплачувати однакову суму. Нехай ми позичаємо суму D₀, щомісяця до боргу додається p відсотків (скільки саме – визначає кредитор), а ми сплачуємо постійну суму d. Якщо ми виплачуємо відразу після нарахування відсотків, тоді борг кожного місяця буде змінюватися ось так:

D_i = (1 + 0.01p) D_i-1 – d

Це вже не буде ані арифметичною, ані геометричною прогресією, однак і про цю послідовність можна дещо дізнатися. Щоб визначити, чи можливо погасити кредит, нам треба дізнатися, чи борг зростає, чи спадає. Як це зробити? Дуже просто: давайте визначимо різницю D_i – D_i-1:

D_i – D_i-1 = (1 + 0.01p)D_i-1 – d – D_i-1 = D_i-1 + 0.01p D_i-1 – d – D_i-1 = 0.01p D_i-1 – d 

Нас цікавить, за яких умов ми можемо погасити кредит. Це можливо, коли сума боргу зменшується, тобто ця різниця від’ємна:

0.01p D_i-1 – d < 0, тобто d > 0.01p D_i-1

Що це означає? Це означає, що ми повинні виплачувати щомісяця більше, ніж нам нараховують відсотків. Інакше сума боргу буде зростати, попри наші виплати. Ситуація як в казці Льюїса Керрола: треба бігти, щоб хоча б залишатися на місці. А щоб просуватися вперед, треба бігти ще швидше. Фактичний розмір відсотків залежить від суми боргу. Тому найважче буде “подолати” відсотки на самому початку, коли сума боргу найбільша (за умови, що вона все ж зменшується). Відповідно, обмеження на щомісячні виплати є таким:

d > 0.01p D₀

Величина p називається відсотко́вою ста́вкою, але її частіше подають в річних відсотках. Позначимо таку ставку великою літерою P і покажемо, як вона пов’язана з відсотками, що нараховуються щомісяця:

(1 + 0.01p)¹² = (1 + 0.01P)

Якщо ставка буде, наприклад 15% річних, то за місяць буде нараховано приблизно 1,17%. Щомісячна сума виплат повинна бути більшою ніж цей відсоток від позики, щоб кредит в принципі було можливо погасити.

Давайте також спробуємо оцінити, скільки місяців та грошей нам знадобиться, щоб погасити кредит повністю. Сума боргу в будь-якому місяці в нас однаково пов’язана з попереднім:

D_i = (1 + 0.01p) D_i-1 – d

Нехай ми проводили виплати протягом n місяців. Тоді ми можемо використати цю формулу n разів і виразити D_n через D₀ (суму позики).

D_n = (1+0.01p)D_n-1 -d = (1 + 0.01p)²D_n-2 – (1 + 0.01p)d – d = 

= (1 + 0.01p)³D_n-3 – (1 + 0.01p)²d – (1 + 0.01p)d – d =

= (1 + 0.01p)⁴D_n-4 – (1 + 0.01p)³d – (1 + 0.01p)²d – (1 + 0.01p)d – d = ….

Повторивши n разів отримаємо:

D_n = (1+0.01p)ⁿD₀ – (1 + 0.01p)^n-1d – …. – (1 + 0.01p)d – d

Частина виразу, яка йде після  (1+0,01p)ⁿ D₀ є сумою n членів геометричної прогресії: кожен наступний додаток отримуємо множенням попереднього на (1+0,01p). Є формула для такої суми, і ми її застосуємо:

D_n = (1+0.01p)ⁿD₀ –  d ((1 + 0.01p)^n-1 – 1) / (0.01p)

Щоб погасити кредит за n місяців, треба, щоб сума боргу досягла нуля:

D_n <= 0,

(1+0.01p)ⁿD₀ –  d ((1 + 0.01p)^n-1 – 1) / (0.01p) <= 0, 

(1+0.01p)ⁿD₀ <=  d ((1 + 0.01p)^n-1 – 1) / (0.01p),

(0.01p)(1+0.01p)ⁿD₀ <=  d ((1 + 0.01p)^n-1 – 1),

d >= (0.01p)(1+0.01p)ⁿD₀ / ((1 + 0.01p)^n-1 – 1)

Отже, знаючи суму позики та процентну ставку ми можемо порахувати, скільки мінімум грошей на місяць треба виплачувати, щоб погасити кредит не більше ніж за n місяців.

Якщо брати великий кредит

Нехай сума позики буде в один мільйон гривень (що співставно з вартістю житла), а ставка 15% річних (теж реалістично для нашої країни). Тоді мінімальна щомісячна виплата, щоб борг принаймні не зростав становить 11700. Це більше плати за винайм житла, і лише щоб покрити відсотки! Отак і підеш лампи возити.

Якщо ми хочемо погасити цей кредит за 15 років, тобто за 180 місяців, то нам треба платити 13523 гривні щомісяця, і ми заплатимо загалом майже 2,5 мільйони гривень (позичивши один). Щоб скоротити погашення до 10 років, треба збільшити виплати до 15794 гривень. Тоді загалом заплатимо менше – 1,9 мільйона.

Уявімо собі, що відсоткову ставку знизили до 5% (в сусідній Польщі вона для іпотечних кредитів навіть дещо менша). Тоді погасити кредит за 10 років можна було б щомісячним платежем  10680 гривень, а загальний обсяг виплат становив би лише 1,29 мільйона. Порівняйте переплату в обох випадках.

Якщо брати маленький кредит

Принцип надання мікрокредитів дуже схожий, але часто відсотки нараховуються не щомісяця, а щодня. Хоч ця цифра суттєво менша за річну ставку іпотечного кредита, але не дайте ввести вас в оману. Нехай за добу до боргу додається 1% (це досить реалістична цифра). Скільки це буде за місяць? Якщо в місяці 30 днів, тоді борг через місяць буде:

(1.01)³⁰ D₀ = 1.3478 D₀,

Тобто ставка за місяць буде майже 35%.

Борг через рік становить:

(1.01)³⁶⁵ D₀ = 3.7783 D₀,

отже ставка – майже 380 відсотків річних!

І що тепер?

Мабуть, в цьому місці багато читачів вирішило, що моєю метою було показати вам, що кредити – це погано, і не треба ними користуватися. Але в мене самого не має такої думки! Це лише один з багатьох фінансових інструментів, що існують. Як будь-який інший інструмент, він має своє призначення і вимагає правильного використання. А у фінансах часто буває так, що коли ви помиляєтеся, хтось інший має на цьому легкі гроші. Тому зацікавлених в масовій просвіті небагато.

Що я справді хотів вам показати – це те, що дуже часто, знаючи трішки математики, можна прогнозувати наслідки своїх та чужих дій набагато краще, ніж без неї. Якщо аналізувати те, що вам повідомляють, то часто можна дізнатися щось цікаве, що вирішили замовчати, або ж узагалі викрити брехню, побачивши протиріччя в тому, що вам говорять. Будьте уважні, проникливі та пам’ятайте, що будь-яке знання може несподівано стати вам при нагоді. Цікавтеся та аналізуйте.

Джерело титульного зображення: pixabay.com

Повний список моїх математичних статей:

• Числа (цілі, раціональні, дійсні, комплексні)
• Математичний простір. Скаляри та вектори
• Імовірності. Розподіли. Статистика. Похибка
• Трансцендентні числа. Математичні ряди. Наближені обчислення
• Послідовності. Прогрессії. Відсоткова ставка кредитів