Від простору до матриць. Дивні геометричні об’єкти

Зі статті про математичний простір ми дізналися про вектори та скаляри. Вони подарували науковцям дуже зручний та точний інструмент для опису світу. Сьогодні я вам пропоную повернутися до цієї дивовижної теми і подивитися на неї під іншим кутом. Ми навчимося оперувати з числовим представленням векторів і побачимо зв’язок між перетвореннями координат та матрицями. Як я обіцяв у першій статті про простір, ми дізнаємося про два нових типи математичних об’єктів — псевдовектори та псевдоскаляри.

Вектор запишемо як стовпчик, перетворення координат — як матрицю

Ми вже знаємо, що вектор можна представляти в різних базисах, і в кожному він матиме свої координати. Якщо ми змінюємо базис, то координати всіх векторів перетворюються відповідно до цієї заміни. Щоб зручно це описати, можна скористатися лінійною алгеброю. У першій частині я згадував про таку можливість, але зараз зупинимося на цьому більш детально. Щоб нам було зручно перетворювати вектори, ми домовимося записувати їхні координати у стовпчик ¹. Ось так:

Якщо нам треба перетворити базис 

тоді нам потрібна матриця, де в кожному рядку будуть координати векторів старого базису, представлені в новому базисі:

Це є матриця перетворення. Тепер щоб перетворити координати нашого вектора, нам слід помножити цю матрицю на вектор-стовпчик зі старими координатами:

Це відбувається згідно із загальними правилами множення матриць. Результатом буде вектор-стовпчик ‒ з новими координатами. Кожна комірка заповнюється таким чином: беремо рядок з матриці переходу з таким самим номером. Кожну комірку з цього рядка множимо на число зі стовпчика з таким самим номером. Добутки додаємо і пишемо в результат. Подивимося, як це робиться, на прикладі, підставимо в матрицю та у вектор якісь конкретні числа. На цій схемі зліва – матриця перетворення, з гори – вектор, що перетворюється, на перетині – результат.

Як бачимо, таке множення виконує те саме, що я описав в попередній статті про простір в розділі “Перетворення базису”. До речі, матриця в цьому прикладі є наближенням матриці повороту, що обертає базис навколо вісі y на 45 градусів (синус і косинус цього кута приблизно дорівнюють 0.7071, а тут його округлено до 0.7). Якщо ми хочемо виконати два послідовних перетворення базису, то це можна зробити по-різному. Можна їх виконати послідовно:

обидва – описаним вище способом. Якщо перше перетворення виконує матриця A, а друге – матриця B, тоді ми множимо матрицю A на вектор-стовпчик з координатами в першому базисі, а потім множимо матрицю B на те, що отримали: 

Хоча такі множники не можна переставляти місцями ², але можна змінювати порядок самих множень:

Зверніть увагу, що добуток BA – це вже множення однієї квадратної матриці на іншу квадратну матрицю. Кожен її елемент є сумою добутків чисел з рядка першої матриці з таким самим номером і стовпчика другої матриці з таким самим номером. Подивимось на прикладі з числами:

Добуток двох матриць перетворень є матрицею перетворення з першого базису відразу в третій:

При послідовному виконанні перетворень базису матриці перетворення множаться.

Скалярний добуток векторів мовою матричного множення

Скалярний добуток також легко представити за допомогою матричного множення. Тільки для цього нам знадобиться дві форми запису векторів – вектор-рядок та вектор-стовпчик ³. Помноживши їх саме в такому порядку отримаємо:

Це і є тим скалярним добутком векторів, який ми вивчили в першій статті про математичний простір. Нагадаю, що скаля́ром є не просто число, а воно ще мусить бути незмінним при перетвореннях координат, які не спотворюють ме́трики⁴. 

Псевдоскаляри та псевдовектори

Розглянемо ще один спосіб множення векторів. Але спочатку нам треба визначити ще одну операцію з матрицями – визначни́к. Його можна порахувати тільки для квадратної матриці (коли кількість рядків та стовпчиків однакова).

У випадку матриці розміром 2·2 визначник можна обчислити таким чином:

Яка від цього користь? Наведу простий приклад: якщо ми візьмемо два вектора на площині і запишемо їхні координати в матрицю 2·2, тоді її визначник буде псевдоскаля́рним до́бутком⁵ двох векторів на площині.  За мо́дулем він дорівнює площі паралелогра́ма, який утворюють ці вектори, та однаковий в усіх ортонормо́ваних ба́зисах.

На площині якщо координати двох векторів записати в матрицю 2·2, то за допомогою визначника можна порахувати площу паралелограма, який вони утворюють. Автор зображення: Jitse Niesen – Own work, created with Inkscape, Суспільне надбання (Public Domain), https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1898407

А знак цієї величини має цікаві властивості. Прослідкуймо, що з ним відбувається при таких перетвореннях координат на площині, які не змінюють метрики. Це повороти координат та зміни напрямку осей. Поворот системи координат не впливає на знак добутку, але якщо ми змінимо напрямки осей на протилежні, тоді знак зміниться на протилежний. Числові величини, що так поводяться, називаються псевдоскаля́рами. Такі величини можуть існувати і в тривимірному просторі, але про це трішки пізніше.

Поки що ми дізнаємося, яким є визначник матриці 3·3. Найлегше його записати через визначники матриць 2·2:  

Ми беремо елементи верхнього рядку матриці, множимо кожний на визначник меншої матриці, яку ми отримуємо викресливши рядок і стовпець, в яких стоїть цей елемент. Потім обчислюємо суму цих добутків з чергуванням знаку. Аналогічним чином  можна порахувати визначники матриць 4·4, 5·5 і більших, але поки що нам буде достатньо матриць 3·3. 

Оскільки для обчислення визначника матриці більшого порядку треба порахувати визначники меншого порядку, то ця формула є рекуре́нтною. Ми вже мали справу з такими формулами вивчаючи послідо́вності. 

Вміючи рахувати визначник матриці 3·3, ми можемо познайомитись із ще одним видом множення векторів, яке можна робити в тривимірному простор –  ве́кторним. Якщо в нас вектори представлені в ортонормованому базисі, тоді цей добуток можна зручно представити у вигляді детермінанта такої матриці:

де i, j та k – ба́зисні вектори́, а u, v – вектори, які ми множимо. Як бачимо, в цій матриці є числа (координати векторів, які ми множимо) і вектори. Виглядає, ніби це якась помилка. Однак вектор можна помножити на число, а отже можна порахувати детермінант такої матриці ⁶. Отримуємо ось це:

що виглядає схоже на вектор. Це сума певних координат, помножених на базисні вектори. Координати вектора при зміні базису повинні перетворюються так, як це описано в попередній статті про простір. При поворотах базису результат векторного множення поводиться як вектор. Але якщо ми замість повороту змінимо напрямки всіх осей на протилежні, то координати множників (бо вони є векторами) змінять свій знак, а от координати добутку залишаться тими самими! Така поведінка не пасує для вектора, тому цей дивний об’єкт називають псевдове́ктором. Багато хто з вас зі школи пам’ятає, що напрямок векторного добутку визначають за правилом правої руки. Так от, заміна напрямків всіх осей на протилежні рівносильна тому, що ми праву руку змінили на ліву.

Векторний добуток є тривимірним “аналогом” псевдоскалярного і довжина псевдовектора, який отримуємо в результаті так само дорівнює площі паралелограму, який утворюють два вектори-множники.

Псевдовектори можуть “жити поруч” зі звичайними векторами простору – для них визначені ті самі операції. Якщо ми помножимо скалярно вектор на псевдовектор, отримаємо псевдоскаляр. Векторний добуток вектора і псевдовектора є вектором.

Де це все використовують?

Скаляри, вектори, псевдоскаляри та псевдовектори дуже широко використовують у фізиці для опису багатьох явищ. Майже завжди вони співіснують. В механіці, наприклад, такі величини, як шви́дкість, приско́рення, і́мпульс, є векторами. Ене́ргія є скаляром. А для опису обертального руху використовують момент імпульсу, який є псевдовектором. 

Для опису явищ електрики та магнетизму також користуються повним “асортиментом” геометричних об’єктів. Електри́чний заря́д – це скаляр. Напру́женість електри́чного по́ля – це вектор. Електри́чний поті́к (скільки поля проходить крізь поверхню) – це скаляр. А от магні́тна інду́кція (величина, що описує магнітне поле) – це псевдовектор, а магні́тний поті́к – псевдоскаляр.

Матриці використовуються набагато ширше, вони також стають при нагоді для представлення ліні́йних опера́торів, які знайшли застосування в багатьох науках. Дуже яскравим прикладом є квантова фізика, де багато величин описують саме як оператори, що діють на функцію, яка описує стан об’єктів.

Як бачимо, математичний опис простору є дещо складнішим і набагато цікавішим ніж “відрізки зі стрілочкою”, які нас вчили малювати у школі.

Примітки:

1. Дуже багато речей люди роблять через те, що так домовилися. Зрештою, навіть значення слів у нашій мові – це домовленість. Ба більше, буває так, що з роками й десятиліттями у слова з’являється якесь нове значення, потім його вживають у двох випадках, а згодом старе значення може “відмерти”. Математика – не виняток. Тут теж є свої домовленості, які з часом змінюються. В давньому Єгипті використовували ієрогліфічний запис чисел, в середньовічній Європі – римські цифри, сьогодні здебільшого користуються  Індо-арабськими цифрами. Однак числа, які записували давні Єгиптяни, залишаються такими самими, якщо їх записати на сучасний лад. Зміну “стандартів” можна пояснити тим, що з часом виникали нові математичні задачі, і форму запису приймали таку, яка була достатньо простою та гнучкою, щоб її можна було використовувати для них. Навряд чи нам було би зручно рахувати інтергали, чи рух частинок зі швидкостями, близькими до швидкості світла, користуючись давньоєгипетськими чи римськими цифрами. До речі, коли в Європі дізналися про “арабські” цифри, то першими їх полюбили торговці – виявилося, що позиційна система числення дозволяє швидше рахувати гроші, роблячи менше помилок. Отже рішення про “зміну стандартів” далеко не завжди приймаються в кабінетах
2. Коли ми множимо числа, то ми можемо переставляти множники місцями, а результат буде той самий. Мовою математики це називається комутати́вність. У випадку множення матриць все не так. В загальному випадку, щоб можна було помножити матрицю A на матрицю B, треба, щоб в A було стільки ж стовпчиків, скільки рядків у B. Розмір матриці-добутка визначається кількістю рядків в A і кількістю стовпчиків у B. Отже якщо ми спробуємо переставити матриці-множники, то не факт, що ми взагалі можемо їх помножити, а якщо можемо, то отримаємо матрицю інших розмірів. Квадратні матриці однакового розміру можна множити в довільному порядку, але не факт, що результати будуть збігатися. Але принаймні розмір матриці-добутку буде співпадати з розміром матриць-множників. Матриці перетворення базису є квадратними, тому їх можна множити в довільному порядку. І якщо, скажімо, повороти координат на площині можна виконувати в довільному порядку без зміни результату, то в тривимірному просторі повороти навколо різних осей вже не можна переставити місцями – результат буде відрізнятися.
3. В цій статті я розглядаю ці дві форми запису як рівноправні способи представлення одного і того самого вектора, які обираються відповідно до того, що ми хочемо з ним робити. Однак в деяких теоріях, зокрема в теорії поля у фізиці, використовується математичний формалізм, який чітко розрізняє два типи векторів: рядки і стовпчики.  Тут ми не будемо торкатися цих питань.
4. У статті про математичний простір в розділі про скалярний добуток я написав, що ми обмежуємося перетвореннями між ортонормо́ваними базисами. В Евклі́довому просторі саме у випадку таких базисів метрика записується формулою , яку ми використовуємо зі школи для визначення відстаней між точками. Відповідно, якщо ми обмежимося цими базисами, то вираз для метрики буде незмінним при наших перетвореннях, що й треба для впровадження скалярів. Якщо ж у нас буде простір з іншою метрикою (наприклад, як у теорії відносності), тоді й перетворення координат, якими ми обмежимося, будуть іншими.
5. На момент написання цієї статті на вікіпедії не було статті про псевдоскалярний добуток українською мовою. Тому я подав лінк на статтю іншою мовою, розуміння якої в нашій країні є досить поширеним. Прошу вибачення в співгромадян, які не володіють нею, я визнаю за вами таке право.
6. Оскільки в цій матриці зі змішаними елементами (числа і вектори) вектори знаходяться в одному рядку, то для обчислення детермінанту нам потрібно лише множити вектор на число, що ми вміємо. Якби вектори були розташовані, наприклад, по діагоналі, то тоді треба було би ще додавати/віднімати числа з векторами, що неможливо.

Посилання на джерело титульного зображення

Повний список моїх математичних статей:

• Числа (цілі, раціональні, дійсні, комплексні)
• Математичний простір. Скаляри та вектори
• Математичний простір. Псевдоскаляри та псевдовектори
• Імовірності. Розподіли. Статистика. Похибка
• Трансцендентні числа. Математичні ряди. Наближені обчислення
• Послідовності. Прогрессії. Відсоткова ставка кредитів