Чи є фотон масивним?

17 Квітня 2020 | Sergei Sharapov

Категорія: Фізика

Теги: електрон, елементарні частинки, маса, теорія відносності, фотон, школа

Приводом для написання цієї статті стала історія з телеуроком фізики для 11-го класу. Розбору помилок цього уроку присвячено допис у фейсбуці . Інший урок того ж вчителя було використано для того, аби учні самостійно знайшли помилки в лекційному матеріалі й обґрунтували, що саме було викладено неправильно.

Я хочу зупинитися лише на одній з принципових помилок, що були зроблені, а саме: масі фотона. Як з’ясувалося, це не помилка окремого вчителя, а хибне твердження, яке повторюється у багатьох сучасних українських підручниках з фізики. Хоча мій досвід викладання в школі обмежений лише педагогічною практикою, на яку я самостійно попросився під час навчання на фізичному факультеті Київського національного університету, я прочитав досить багато науково-популярних лекцій з фізики графену. Під час лекцій я постійно пояснював, що рух масивної частинки – електрона, коли він знаходиться в графені, виявляється подібним до руху частинки світла – фотона, про яку зі шкільного курсу фізики відомо, що вона є безмасовою.

Менше з тим, з’ясувалося, що це хибне уявлення про ненульову масу фотона було присутнє ще в радянських підручниках. За всі роки незалежності ця помилка так і не була виправлена й досі копіюється з підручника до підручника. Тому я вирішив, що треба самому повернутися до основ та викласти їх правильно. Тим більше, що моя базова освіта саме з квантової теорії поля, яка будується дедуктивним чином, і я ще не забув, що електромагнітне поле складно проквантувати саме через безмасовість фотона. Дуже швидко я з’ясував, що це питання разом з більш широким питанням щодо поняття маси добре викладено у статті [1]. Ба більше, є навіть книжка українською мовою “Як у загальноосвітній школі викладати сучасну фізику” видана ще 2008 року [2]. Тому особливо прикро бачити, що вся ця інформація, яка є у вільному доступі, не дійшла до людей, які називають себе фахівцями з “теорії та методики навчання фізики” й продовжують писати підручники з фізики з грубими помилками. Усе-таки вирішив дописати цю статтю до кінця з надією, що нещодавні проблеми з телеосвітою, запровадженою під час карантину, спрятимуть зникненню цієї помилки з українських підручників.

Маса як інваріант

Дуже важливим поняттям у фізиці та математиці є поняття інваріанту, тобто величини, яка залишається незмінною при перетвореннях певного типу. Уявімо собі, що ми маємо вектор a, компоненти якого в одній системі координат дорівнюють (a_x, a_y, a_z), а інша система координат повернута відносно першої так, що координати того ж вектора в ній є (a^‘_x, a^‘_y, a^‘_z). При цьому суттєво, що довжина вектору a є однаковою в обох системах, тобто має місце рівність

Про математичний простір, вектори та інваріантність можна дізнатися з іншої статті на порталі “Моя наука”. Зокрема, звідки у вектора з’являються координати , чому вони можуть змінюватися, і що при цьому лишається постійним.

$\vec{a}^2= a_x^2 + a_y^2+ a_z^2 = a'_x^2 + a'_y^2+ a'_z^2 .$

Наприклад, при обертанні системи координат не зберігаються проєкції імпульсу на осі координат, але зберігається повний імпульс частинки, яка не взаємодіє з іншими, тобто

$\vec{p}^2= p_x^2 + p_y^2+ p_z^2 .$

У рамках спеціальної теорії відносності (СТВ) інваріанти діють і в об’єднаному просторі та часі. Тобто ті ж перетворення Лоренца для координат та часу, які вивчають у 10-му класі, можна отримати зі збереження так званого інтервалу

Про спеціальну теорію відносності та математичне представлення простору-часу ви можете більше прочитати в цій і цій статтях. Подібно до чотиривимірного простору-часу, в якому зберігається величина s з цієї формули, є також чотиривимірні вектори енергії-імпульсу, які перетворюються дуже схожим чином і мають незмінну величину, яка дорівнює mc² і може допомогти нам з визначенням маси в цій теорії

$s^2= c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 ,$

де стала c = 299792458 м/с є швидкістю світла. В СТВ енергія E та повний імпульс p частинок також стають залежними від вибору системи координат. Проте при просторово-часових обертаннях системи координат зберігається, тобто є інваріантною, комбінація

(1) $\begin{equation*} m^2 c^4 = E^2 - c^2 p_x^2 - c^2 p_y^2- c^2 p_z^2 . \end{equation*}$

Величина m є масою частинки, вона не залежить від системи координат, в якій ми розглядаємо її рух.

Якщо ж говорити про різноманітні елементарні частинки, то вони мають масу, яку вимірють експериментально та намагаються обрахувати теоретично. Маси частинок відповідають квадратному кореню з величини у лівій частині останнього рівняння – m c². Ми користуємося саме цією величиною тому, що вона є незалежною від вибору системи координат. Маса частинки є однією з її найважливіших характеристик.

Наприклад, про електрон у вакуумі відомо, що його маса m_e $\approx$ 9,11×10⁻³¹кг. Якщо її помножити на c², а потім поділити на c² (результат при цьому не змінюється), то перший добуток маси таc²матиме розмірність енергії, яку можна виразити в електронвольтах. Тоді масу електрона можна записати і як $\frac{0,511 MeB}{c^2}$ . Зазвичай, швидкість світла c покладають рівною одиниці та в розрахунках вимірюють масу в одиницях енергії, тобто для електрона це 0,511 МеВ.

Таким чином, ми переконалися у важливості інваріантів у фізиці та встановили в який саме інваріант входить маса частинок. Тепер взявши це за основу, ми можемо розглянути фотон.

А що там у фотона?

У першій половині XIX сторіччя, коли оптика була найбільш досліджуваною областю фізики, експерименти Юнга та Френеля переконали науковців, що світло має хвильову природу. Але на початку XX сторіччя для пояснення випромінювання нагрітих тіл та фотоефекту довелося повернутися до корпускулярної природи того ж світла, тобто такого, що складається з частинок. (У цих двох коротких реченнях зроблена спроба сказати про те, що є предметом десятків, якщо не сотень науково-популярних книг з фізики.)

Отже, для того, аби частинка світла, названа фотоном, завжди рухалася зі швидкістю c незалежно від вибору системи координат, ми мусимо припустити, що її маса m=0. Тобто для фотона (див. (1)) має місце наступне співвідношення між енергією та імпульсом

(2) $\begin{equation*} E=pc . \end{equation*}$

Якщо ж ми використаємо формулу Планка, яка пов’язує енергію фотона з його частотою ν,

(3) $\begin{equation*} E=h\nu , \end{equation*}$

де h=6,62607015×10⁻³⁴ Дж· с – стала Планка, то для імпульсу фотона легко знайти, що p =h ν/c = h/λ, де λ – довжина світлової хвилі.

За сучасними уявленнями фотон є частинкою-переносником електромагнітної взаємодії, і саме те, що він є безмасовим, обумовлює далекосяжність цієї взаємодії. Це є причиною того, що в відомому законі Кулона сила взаємодії між зарядами спадає пропорційно до квадрату відстані між зарядженими частинками, завдяки чому світло навіть з найвіддаленіших куточків Всесвіту може досягнути Землі. Якби ж фотон був масивним, то це змінило б просторову залежність взаємодії, і замість закону Кулона ми мали б значно швидше – експоненційне зменшення сили при збільшенні відстані між зарядами.

Власне саме питання – чи сила в законі Кулона спадає обернено квадрату відстані, чи швидше – є практичним, тобто на нього можна шукати відповідь за допомогою експерименту. Якби таке порушення закону Кулона дійсно спостерігалося, то це означало б, що фотон має масу спокою. Утім відомі на сьогодні експериментальні дані свідчать, що маса фотона, якщо вона і є скінченою, має бути меншою за 3×10⁻²⁷ еВ/c² . Ця величина становить нікчемну частку – приблизно 6×10⁻³³ від маси електрона!

Додам, що безмасовим вважається і ще не відкритий гравітон – частинка, яка відповідає за перенесення гравітаційної взаємодії, яка теж є далекодійною. При цьому треба наголосити, що нещодавнє детектування гравітаційних хвиль не є еквівалентним детектуванню окремого гравітона.

Отже ми побачили, що для того, щоб рухатися із швидкістю світла, фотон мусить бути безмасовим, та пов’язали імпульс фотона з довжиною хвилі. При цьому розгляді ми уникнули помилки, яка, на жаль, присутня в багатьох сучасних шкільних підручниках. Ба більше, ми познайомилися із фізичною аргументацією, яка пов’язує далекосяжність електромагнітної взаємодії з відсутністю маси у фотона. На цьому не дуже зацікавлений читач може і зупинитися, а ми продовжимо та розберемо помилкові аргументи, які наведено у сучасних підручниках.

Що не так з багатьма шкільними підручниками?

Ось приклад неправильного розгляду питання про масу фотона:

Фрагмент сторінки 165 з розділу 23 підручника “*Фізика і астрономія*” для учнів 11 класу, рекомендованого МОН України для закладів загальної середньої освіти
(авт. Головко М. В., Крячко І.П., Мельник Ю. С., Непорожня Л. В., Сіпій В. В., рівень стандарту за навчальною програмою авторського колективу під керівництвом академіка НАПН Ляшенка О. І.– Київ: Педагогічна думка, 2019. – 289 с.)

Наведена цитата, на жаль, не є одиничною. Колеги свідчать, що цю помилку містить і підручник “Фізика і астрономія” для 11 класу (автори В.Д. Сиротюк, Ю.Б. Мирошніченко), виданий у 2019 році (параграф 42, ст. 167), а також багато інших підручників рекомендованих тим же МОН для навчання школярів.

Якщо порівняти цей уривок з попереднім текстом, то виникає протиріччя – ми навели аргументи, що маса фотона дорівнює нулю, а у підручнику вона, вочевидь скінчена, ненульова. Так у чому ж справа? Але оскільки ця фізична помилка вже була детально проаналізована, зокрема, в публікаціях [1, 2], я не буду повністю відтворювати наведену в них аргументацію, обмежившись лише підсумком.

Як правильно розуміти формулу Ейнштейна?

Почну з того, що формула Ейнштейна

(4) $\begin{equation*} E_0=mc^2 \end{equation*}$

мабуть, одна з небагатьох, що увійшли у масову культуру. Через це в свідомість некритично потрапляє й уявлення, що E₀ – це будь-яка енергія, а m – будь-яка маса. Але точні науки тому і називають точними, що всі символи в формулі мусять бути чітко визначені. Російський фізик Лев Окунь проаналізував велику кількість науково-популярної, шкільної, університетської та фахової літератури [1] і зробив переконливий висновок, що в первісній ейнштейнівській інтепретації під масою m розуміється тільки маса спокою, а отже E₀ відповідає енергії, яка міститься в тілі в стані спокою. Більше того, оскільки ніякої іншої маси, окрім маси спокою, не існує, то і сам термін “маса спокою” мовчки вважається зайвим і зазвичай прийнято говорити просто про масу.

Нагадаю, що основними співвідношеннями СТВ, які описують вільний рух частинки є вже записане вище рівняння (2), у парі з яким йде рівняння

(5) $\begin{equation*} \vec{p} = \frac{\vec{v}E}{c^2}, \end{equation*}$

де $\vec{p}$ та $E$ вже використані вище вектор імпульсу частинки та її енергія, а $\vec{v}$ – вектор швидкості цієї частинки. Рівняння (1) та (5) описують рух частинок в усьому інтервалі швидкостей від нуля до швидкості світла: $0 \leq v \leq c$ . Зокрема, при $v = c$ з (5) випливає рівняння (2).

Для масивних частинок у формулах (3) та (5) енергію та імпульс зручно виразити через масу та швидкість. Для цього підставимо (5) у (3), що дає $E^2 (1- \frac{v^2}{c^2})=m^2 c^4$ .

З останнього виразу отримуємо зв’язок

(6) $\begin{equation*}E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\end{equation*}$

І насамкінець, підстановкою (6) у (5) приходимо до формули

(7) $\begin{equation*} \vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \end{equation*}$

З неї та попередньої формули стає очевидним, що тіло скінченої маси m не може рухатися зі швидкістю світла, оскільки це призвело б до нескінчених значень енергії та імпульсу тіла.

В СТВ зберігається ньютонівське співвідношення між силою та часовою зміною імпульсу:

Варто звернути увагу, що саме ця формула є правильним записом другого закону Ньютона, а не F = ma, яку більшість нас запам’ятала зі школи. Такий запис кращий не тільки тим, що має однаковий вигляд в обох теоріях (також в спеціальній теорії відносності). Навіть в межах Ньютонівської фізики він є більш універсальним. Наприклад, якщо сила розганяє віз, з якого просипається зерно, а отже змінюється його маса, то саме ця формула опише ситуацію точно.

(8) $\begin{equation*} \vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}}. \end{equation*}$

Тепер неважко проаналізувати, що роблять автори вищезгаданих підручників. Фактично вони підміняють фізичний зміст формули Ейнштейна (5), бо замість енергії спокою E₀ оперують з енергією фотона E, яка пов’язана виключно з його рухом зі швидкістю світла с, а потім ділять цю енергію на с². Через це отримана “маса” вже не ніяк не пов’язана з масою спокою і тому все одно має фізичний зміст енергії руху фотона, хоча і записана в кілограмах. Саме так і зроблено в невдало написаних підручниках.

Зокрема, в підручнику “Фізика” для 11 класу (автори Є.В. Коршак, О.І Ляшенко, В.Ф.Савченко), виданому у 2011 році (параграф 61, с. 191-192 ), міститься твердження, що маса фотона рентгенівського випромінювання майже у 500 разів менша за масу електрона. Таке порівняння нагадало мені епізод з моєї улюбленої книги «Та ви жартуєте, містере Фейнман! Пригоди допитливого дивака», (вид-во Наш Формат, 2019), де на с. 336 сформульована наступна задача, що не має фізичного вирішення: “Джон із батьком вийшли подивитися на зірки. Джон бачить дві блакитні зірки і одну червону. Батько бачить зелену зірку, фіолетову і дві жовті. Яка сумарна температура зірок, побачених Джоном і батьком?“

Добре, що перед цим місцем автори все ж відзначають, що маса спокою фотона дорівнює нулеві, позаяк його неможливо спинити. Але ж наявність поряд взаємно суперечливих тверджень про масу лише заплутує читача. Власне, це ми і бачимо, коли перегортаємо підручники 2019 року, де пояснення про безмасовість фотона скорочено ще більше, а головний наголос перенесено на знаходження його маси. Унаслідок знайомства з такими підручниками читач залишається ще більш збентеженим. Використання ще однієї скінченої маси для фотона входить в явне протиріччя щодо щойно зробленого нами з рівнянь (6) та (7) висновку про те, що тіло зі скінченою масою не може рухатися зі швидкістю світла.

Передивившись також статті про фотон у Вікіпедії, я побачив, що в її українській та російській версіях є розгляд так званої “релятивістської маси” фотона, подібний до вищезгаданих підручників, проте вказується, що цей термін виходить із вжитку. В англійській версії цей термін не згадується, а лише стверджується, що це маса системи, яка випромінює або поглинає фотон зменшується або збільшується (якщо знехтувати переданим імпульсом) на величину E/ с².

Таким чином, ми переконалися, що помилка у підручниках виникає через неправильне розуміння, яка саме маса входить у найбільш відоме всьому світу рівняння Ейнштейна та використання застарілої термінології. Але для того, щоб краще зрозуміти логіку, нам також варто подивитися, як саме СТВ у своєму граничному випадку переходить у класичну механіку Ньютона.

Перехід від СТВ до механіки Ньютона

Будь-яка більш загальна теорія за певних граничних умов мусить переходити у менш загальну. Не є виключенням і СТВ. Адже СТВ не спростувала попередню механіку, як часто помилково пишуть у популярній пресі, але описала й незрозумілі доти явища, й ті, що мали опис у рамках класичної механіки Так, коли швидкості є набагато нижчими від швидкості світла $v \ll c$ , рівняння (6) та (7) перетворюються у «старі», добре відомі

(9) $\begin{equation*}E = E_0 + \frac{m v^2}{2}\end{equation*}$

та

(10) $\begin{equation*}\vec{p}=m\vec{v}.\end{equation*}$

Звідси видно, що маса тіла у ньютонівський механіці та маса того ж тіла в релятивістській фізиці – це одна і та ж сама фізична величина. Зацікавленому у глибшому розумінні поняття маси читачеві раджу самостійно прочитати розділ 11 “Порівняння ролі маси в теоріях Ньютона та Ейнштейна” з праці [1].

Окрім цього, порівнявши формули (10) та (5), можна побачити, що якщо у механіці Ньютона скінчений імпульс може мати лише масивна частинка, то в СТВ навіть безмасова частинка матиме скінчений імпульс. Цей висновок також вказує на те, що викладена в підручниках аргументація містить серйозні вади.

На закінчення першої частини цього допису, відзначу, що існують і інші аргументи, чому без зайвої необхідності не варто у шкільних підручниках приписувати фотону масу. Як сказав герой роману Карла Сагана:

У реальному світі достатньо приводів для благоговійного подиву. Природа куди більш винахідлива відносно чудес, ніж ми з вами.

Насправді, фізикам давно відомі випадки, коли фотон дійсно стає масивним, а електрон, навпаки, втрачає масу. Про це піде розмова у другій частині.

Література

Питання про масу фотона розглядається в статті та книзі. У них можна знайти повний перелік літератури для подальшого ознайомлення з цими цікавими і інтригуючими проблемами.

Л.Б. Окунь, Понятие массы (Масса, энергия, относительность). Успехи физических наук, 158, 511–530 (1989). https://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/
О. М. Габович, Н. О. Габович. Як у загальноосвітній школі викладати сучасну фізику. “Основа”, Харків, 2008. – 111 с.

Автор висловлює подяку всім, з ким радився, як вдосконалити цей текст: А.А. Варламову, О.М. Габовичу, В.П. Гусиніну, М.З. Йоргову, В.М. Локтєву та С. Л. Парновському.

Блакитні редакторські вставки від Олександра Рунделя