E>mc^2, або чому не потрібно мати масу аби викривити простір

Ви напевно чули, що для астронавтів на Міжнародній Космічній Станції час спливає трошки швидше, ніж на Землі? Можливо ви чули і про те, що для рухомих об’єктів він тече повільніше, ніж для нерухомих. Доволі ймовірно, що після цього ви мали задуматись: а як спливає час на супутниках GPS. І отримаєте відповідь: годинники там набирають щодня додатково близько 38 мс. Якби цей ефект не враховувався, то вже наступного ранку ви прокинулися б на околиці невеликого міста, принаймні якщо вірити вашим картам на телефоні. Тому якщо вас не вражає те, що завдяки гравітаційним обсерваторіям ми можемо зазирнути у ділянки Всесвіту, про які раніше не могли навіть мріяти, чи дізнатись про природу загадкової чорної діри у центрі нашої Галактики, чи зрозуміти як народився наш Всесвіт та чим він закінчиться, то прошу вас взяти до уваги наступне: без загальної теорії відносності ви би досі носили громіздкі карти з собою.

Загальна теорія відносності (ЗТВ), наряду з квантовою механікою, наразі є теорією, яка отримала найбільше експериментальних підтверджень серед усіх фізичних, чи, радше науковою мовою “невдалих спроб спростувань”. Від викривлення променів світла поблизу масивних об’єктів (гравітаційного лінзування) та зсуву перигелію (прецесії) орбіти Меркурія до зовсім нещодавно відкритих гравітаційних хвиль, ця теорія точно пояснює і передбачає фактично все, що стосується гравітації. Вона пояснює все, що пояснювала механіка Ньютона, та правильно передбачає те, що остання не була здатна передбачити, або ж передбачила неправильно. Звичайно, ЗТВ поки що не може пояснити темну матерію та має певні труднощі з поясненням темної енергії, проте ще жоден експеримент не показав прямої суперечності з нею.

Для лікнепу: всі наукові теорії мають містити спростовні твердження. Це означає, що можна поставити експеримент, який покаже, чи твердження виконується. Достатньо одного експерименту, для якого воно не виконується, аби визнати його хибним, себто спростувати. Проте жодна кількість експериментів не зможе довести, що твердження є правдивим – лише те, що воно не було спростоване. Немає ніякої гарантії, що у майбутньому не буде експерименту, який спростує визнані сьогодні теорії. Результати ж експериментів, які не суперечать науковій теорії, можна називати її підтвердженнями, або свідченнями. Ці досліди показують, що теорія може бути істинною. Доведення можуть бути присутніми лише під час математичних викладок теорії, та навіть вони спираються на те, що ми приймаємо за істину деякі аксіоми. Свідчення/підтвердження теорії іноді називають її доказами, проте варто розуміти принципову відмінність цього поняття від логічного доведення.

Із ЗТВ не можна починати знайомство не згадавши про її частковий випадок – спеціальну теорію відносності, або ж коротко, СТВ. Детальніше про неї можна почитати тут і тут. СТВ знайомить нас з простором-часом як єдиним цілим і є скоріше кінематичною дисципліною — такою, яка вивчає рух під дією сил без дослідження природи цих сил. ЗТВ, в свою чергу, йде далі і показує, як цей простір-час реагує і викривлюється за наявності енергії в ньому. Ось як можна співставити СТВ та ЗТВ щодо найвідоміших їхніх ефектів:

1. СТВ показує, як уповільнюється час у системі відліку об’єкта, який рухається. ЗТВ успадковує цей ефект і навіть збагачує його уповільненням часу в гравітаційному полі.
2. СТВ демонструє скорочення довжини об’єкта. ЗТВ не має добре визначеного способу вимірювань розмірів та відстаней взагалі, і єдиною “лінійкою” лишається промінь світла, який даватиме різні відповіді у різних системах відліку. Поняття ж відстані між галактиками визначити складно, але наче когось взагалі цікавить відстань до об’єктів, яких скоріше за все ми ніколи не дістанемось.
3. СТВ стверджує, що одночасність відносна. У ЗТВ настільки ширший обсяг досліджень, включаючи події, роз’єднані відстанями космологічного масштабу, що про відносність одночасності навіть не згадують.

Ці три ефекти у СТВ є наслідком постулату про однаковість швидкості світла в усіх інерційних системах відліку та неможливість руху зі швидкістю вищою, ніж швидкість світла у вакуумі. ЗТВ успадковує цей постулат. Також ЗТВ має дещо спільне з механікою Ньютона, яку ця теорія покликана була узагальнити щодо гравітації:

1. У механіці Ньютона стверджується, що гравітаційна маса тіла (яка відповідає за його реакцію до гравітації) рівна його інертній масі (яка відповідає за реакцію на сили іншої природи). ЗТВ це запозичує та називає слабким принципом еквівалентності. Як наслідок, спостерігач на поверхні Землі спостерігатиме такий же рух вільно падаючих тіл поблизу себе, як і спостерігач у ракеті, яка рухається в космосі з прискоренням 9,8 м/c^2. Звичайно, на поверхні Землі гравітація у різних точках різна через неоднорідність розподілу мас у її надрах, тому ми обмежуємось областю “поблизу” для проведення відповідних експериментів, як і лише гравітаційними силами.
2. Ньютон також заявляє, що спостерігач у інерціальній системі відліку не може відрізнити перебування себе у стані спокою від рівномірного прямолінійного руху. Айнштайн йде далі і демонструє, як знайти такі системи: це системи відліку спостерігачів, які вільно падають у гравітаційному полі. Така система відліку, згідно з першим пунктом, буде еквівалентна неприскореній ракеті, і саме тому спостерігається невагомість — відсутність дії гравітації на тіла у системі.

Це все узагальнюється до принципу еквівалентності — в достатньо малих областях простору-часу ніякими експериментами неможливо виявити гравітаційне поле. З цього випливає висновок, що гравітація є властивістю самого простору-часу.

Тепер розглянемо основний результат ЗТВ — простір викривлюється через наявність у ньому енергії-імпульсу. Відповідне рівняння виглядає наступним чином:

Ліва частина описує локальну геометрію простору-часу, а права — локальну густину енергії-імпульсу у ньому. Тепер постає питання: де в цьому рівнянні маса? Відповідь — її там і не мало бути. То як же вона викривлює простір?

Напевно перша відповідь, яка спаде на думку пересічному читачу, нагадає про еквівалентність маси та енергії: кількість енергії у системі пропорційна її масі та навпаки з відомим і сталим коефіцієнтом пропорційності с^2. На жаль, це твердження має обмежене застосування, бо працює лише в системі відліку масивного об’єкта. “Правильне”, або ж узагальнене рівняння Е=мс^2 виглядає ось так:

Більше символів, та ще й квадратний корінь для вираження енергії, хоча рівняння має елегантність теореми Піфагора. Не дивно, що воно не стало настільки популярним, як і напрочуд страшне головне рівняння загальної теорії відносності.

Як бачимо, частину енергії тіла складає імпульс, який при нерелятивістських швидкостях (v<<c) є зникомо малим у порівнянні з масовим додатком. Так ми приходимо до визначення маси тіла — це енергія тіла у стані спокою, поділена на с^2, бо у цьому стані p=0. Визначення маси в релятивістській механіці втрачає свою унікальність, поступаючись місцем енергії та імпульсу. Це рівняння застосовне і до систем з кількох тіл; в такому випадку, у нього потрібно підставляти суму енергій та суму імпульсів. А так як енергію системи складають також енергії взаємодії, як от енергія зв’язку у атомі, то маса перестає бути адитивною, порушуючи відомий з хімії закон Ломоносова-Лавуазьє. Варто зазначити: енергія та імпульс є єдиними адитивними величини в теорії відносності. Тому з ними і легше працювати. Чому у Ньютонівській механіці маса є адитивною теж? Бо за малих швидкостей та гравітації, кінетична енергія системи зникомо мала у порівнянні з енергією спокою, тому сума енергій практично рівна сумі енергій спокою, себто сумі мас, помноженій на с^2. Для отримання ж закону збереження енергії у знайомому нам зі школи вигляді, достатньо відраховувати енергію від суми всіх енергій спокою у системі.

Але зачекайте, скажете ви, чому ми не можемо визначити масу як відношення енергії до квадрату швидкості світла у якій би системі відліку ми не знаходились? Почнемо з того, що у такому випадку вона змінюватиметься залежно від спостерігача. Проте може здатись, що це дозволяє врятувати закон збереження мас, адже тепер вона є такою ж адитивною, як і енергія. Ця, так звана, релятивістська маса, більше не служить зручним коефіцієнтом пропорційності між узагальненою швидкістю¹ та узагальненим імпульсом² у СТВ. Ба більше, при переході до систем, що рухаються з прискоренням, узагальнений другий закон Ньютона містить два доданки, де один відповідає за рух вздовж напряму поточної швидкості, а інший впоперек, і кожен з доданків містить різний коефіцієнт пропорційності до швидкості. Так ми отримуємо понятття “поздовжньої” та “поперечної” маси, і ні, вони різні, див. Фігуру 0. Тому фізики не ускладнюють собі життя складними інтерпретаціями, і визначають масу відповідно до попереднього абзацу.

В попередньому розгляді присутній один хиткий момент, який стосується частинок, що рухаються зі швидкістю світла, наприклад, фотонів. Про це вже є ціла стаття, проте варто зробити ремарки у новому контексті. Для таких частинок неможливо визначити систему відліку, у якій би вони перебували нерухомими. В такій системі відліку зупинився б час, а отже чотиривимірний простір-час виродився б у тривимірний статичний простір, у якому нічого не відбувається. Тому і поняття маси для цих частинок, насправді, не так добре визначене в межах теорії відносності. Якщо припустити, що їхня маса рівна нулю, тоді отримуємо рівняння Е=рс, в якому дозволяються довільні значення імпульсу та енергії, допоки вони є пропорційними. Це гарно узгоджується з квантовою механікою та електродинамікою, а також їхнім узагальненням – квантовою електродинамікою, де існують фотони різноманітних довжин хвиль, і всі рухаються зі швидкістю світла. Енергія фотона, згідно з законом Планка, пропорційна до його частоти Е=hv, а імпульс частинки обернено пропорційний до її довжини хвилі p=h/L. Проте нульова маса більше не пов’язує узагальнену швидкість частинки з її енергією-імпульсом, як це працює для масивних частинок, P=mU, адже з цього рівняння безмасова частинка має нульовий імпульс. Але якщо припустити, що фотон має масу, в теорії виникає багато інших проблем, особливо у квантовій електродинаміці. Електромагнітна взаємодія стає короткодіючою, себто спадає з відстанню експоненційно швидше, а рівняння Е=мс^2 починає набувати змісту, що стає цілковитою катастрофою (жарт). Тому набагато логічніше і коректніше з погляду сучасних фізичних теорій вважати світлові частинки безмасовими, проте такими, які мають імпульс та енергію. Проблем зі співвідношенням P=mU у квантовій електродинаміці не виникає, так як там 4-швидкість мало кого цікавить, в тому числі через принцип невизначеності.

Тепер нам відомо, що простір-час змінює свою геометрію за присутності енергії-імпульсу³. З цього випливає, що безмасові фотони теж здатні змінювати простір-час. І справді, передбачуване ЗТВ розширення Всесвіту з моменту Великого Вибуху протягом перших 47 тис. років визначалось саме випромінюванням, кількість якого домінувала над матерією. Масивна матерія теж викривлює простір-час, проте внаслідок наявності у неї енергії-спокою. Остаточно, некоректно казати, що маса викривлює простір, з трьох причин:

1. Викривлюється не простір, а простір-час. Саме тому, до речі, зображати це викривлення як на Фігурі 1 — некоректно.
2. Безмасові фотони теж його викривлюють, бо мають енергію та імпульс.
3. Маса є наслідком наявності енергії у системи (згідно з ЗТВ) в стані спокою (сумарного нульового імпульсу), яка і викривлює простір.

Цікаво зауважити, що більшу частину маси наших тіл теж складає енергія, як і масу пакету з продуктами та валізи у довгоочікувану відпустку. Маса макроскопічного тіла забезпечується на 99.95% нуклонами, маса яких в свою чергу на 99% складається з енергії сильної взаємодії їхніх складових кварків [3]. Решта береться зі Стандартної моделі електрослабких взаємодій, про яку ми поговоримо іншим разом.

Для закріплення, завершимо ми розглядом явища, яке було відкрите у 2016 і нагородило відкривачів Нобелівською премією. Явище, яке було передбачено за століття до того в теорії, про яку ми зараз і говоримо. Це — гравітаційні хвилі.

Їх можна порівняти з електромагнітними хвилями. Останні є наслідком специфічного відносного руху зарядів у просторі, що призводить до зміни електромагнітного поля. А так як цей рух переважно є періодичним, періодичними є і зміни, що призводить до коливання напруженостей поля у просторі з часом і поширення ним енергії. Гравітаційні хвилі можна описати математично схожим чином. Ба більше, рівняння загальної теорії відносності у лінійному наближенні показують, що у просторі-часі можуть існувати поля, які поводяться як магнітні, і під дією яких масивні частинки рухатимуться так, як рухались би заряджені у магнітному полі, себто лише зі зміною траєкторії, але не модуля швидкості. 

Гравітаційні хвилі, як і електромагнітні, поширюються зі швидкістю світла. Але для них складніше співставити вектор Пойнтінга — вектор, який відображає напрямок та величину як вектор світлового тиску для електромагнітних хвиль, який спричинений наявністю густини імпульсу у просторі. Така спроба, хоч і має багато проблем, все ж дає декілька формулювань, кожне з яких передбачає фізично спостережувані і узгоджувані між ними результати.

В цілому ж можна спробувати уявити гравітаційні хвилі як проходження енергії-імпульсу через простір-час, що і призводить до викривлення. Чи коректно так про це думати? Відповідь ви отримаєте у статті у найближчому майбутньому, коли це явище набуде кращого розуміння науковою спільнотою.

Джерела:

1. Carroll, S. (2019). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Cambridge: Cambridge University Press. Doi:10.1017/9781108770385
2. Einstein, Albert (1923). On the electrodynamics of moving bodies. In The Principle of Relativity. Dover Publications. pp. 35-65.
3. Y.-B. Yang, J. Liang, Y.-J. Bi, Y. Chen, T. Draper, K.-F. Liu, and Z. Liu, “Proton mass decomposition from the QCD energy momentum tensor,” Phys. Rev. Lett. 121, 212001 (2018).

1.  У чотиривимірному просторі-часі вектори, очікувано, мають чотири компоненти і звуться 4-векторами. Так, тривимірний вектор просторової швидкості узагальнюється до 4-швидкості, де кожна компонента відповідає за швидкість зміни відповідної координати з власним часом спостерігача — часом, який він вимірює у інерціальній системі відліку, у якій він нерухомий. Про те, звідки береться такий формалізм, та пов’язані з ним ефекти, можна почитати в цій та цій статтях з СТВ.
2. Аналогічно, тривимірний імпульс узагальнюється до 4-вектору енергії імпульсу, де четвертою (нульовою) компонентою є енергія тіла Е (енергія спокою плюс кінетична енергія).
3. Ми кажемо “енергія-імпульс”, а не просто “енергія та імпульс”, бо вони настільки ж невідокремлювані, наскільки простір та час, і переходять один в одного залежно від системи відліку. Точно так само, як перетворюються час та просторові координати.