Математика і фокуси

Якщо математику сказати слово “фокус” — він спершу подумає про фокус еліпса, параболи чи гіперболи (це спеціальні точки, які визначають ці фігури).

Для всіх інших слова “математика” і “фокуси” в одному реченні можуть здаватись дивиною — але математику таки можна застосовувати у всіх галузях, в тому числі й в розвагах. Математичні фокуси дуже зручні для дитячого свята, наукового фестивалю, незвичайного уроку — можна обійтись без складного обладнання та спецефектів. Але сам фокусник повинен вміти добре рахувати в умі (жодні незвичайні здібності непотрібні) і знати кілька математичних правил та закономірностей — ознаки подільності, в тому числі на 7 та 11, кілька прийомів швидких розрахунків та нескладну табличку для визначення днів тижня.

Математика в цирку

Математичні фокуси можуть бути дуже видовищними — якщо на сцену виходить справжній майстер.

Фокус Девіда Копперфілда “Цирковий поїзд”

До великої дошки прикріплені картки з зображеннями різних вагонів циркового поїзда, які стоять на трьох сусідніх коліях. Фокусник запрошує одного з глядачів вибрати один з 4 вагонів — “Ведмеді”, “Гімнасти та фокусники”, “Леви”, або “Слони”. Рухатись в таблиці можна куди завгодно на 1 крок вліво, вправо, вгору чи вниз — але не можна рухатись по діагоналі.

Клоуни	Ведмеді	Шатер
Гімнасти та фокусники	Тепловоз	Слони
Службовий вагон	Леви	Буфет

 
Крок 1 — зробіть 4 переміщення. Ви не можете опинитись в буфеті, тому приберіть цю картку.
Крок 2 — зробіть 5 переміщень. Ви не можете опинитись в вагоні слонів, тому приберіть цю картку
Крок 3 — зробіть 2 переміщення. Ви не можете опинитись в вагоні левів, тому приберіть цю картку
Крок 4 — зробіть 3 переміщення. Ви не можете опинитись в вагоні з шатром чи в службовому вагоні, тому приберіть ці картки
Крок 5 — зробіть 3 переміщення. Багато з вас тільки що були в вагоні з ведмедями — тому приберіть цю картку.
Крок 6 — зробіть 1 переміщення.

Фокусник не бачив, де ви почали рух і куди ви переміщувались — але тепер він урочисто оголошує, що ви опинились у вагоні гімнастів та фокусників!

Арифметичні фокуси вміють показувати тварини які виступають в цирку чи розважають друзів господаря. Але це — лише вміння тварин правильно реагувати на непомітні для глядачів сигнали господаря чи дресирувальника. Собаки-математики гавкають певну кількість разів — до сигналу, коні — стукають копитом, дельфіни дістають м’яч з потрібним числом.

Естрадні майстри швидких розрахунків колись були дуже популярні — але зараз це вже не дуже цікаво — складно перевірити, що така людина не має у вусі непомітного навушника. Є багато прийомів, що дозволяють швидко рахувати усно — але поговоримо про справжні математичні фокуси. Тут немає жодного обману, ніяких ілюзій — лише знання математичних правил та закономірностей.

Далі ми опишемо кілька відомих та нових фокусів — та кілька цікавих математичних фактів, на основі яких можна розробити власні нові фокуси.

Читання думок — вгадуємо задумане число

Загальний принцип цієї групи фокусів — просимо когось задумати число та виконати з ним певні операції та повідомити нам результат. Операцій багато — але ми їх підбираємо таким чином, щоб простим обчисленням отримати задумане число (чи дату народження, чи вік людини).

Наприклад, просимо одного з глядачів (віку якого ви не знаєте, але це більше 6 років і менше 100):

1. Задумайте натуральне число (не дуже велике — щоб ви та глядач могли швидко проводити розрахунки)
2. Помножте це число на 2.
3. До отриманого числа додайте 5.
4. Помножте суму на 50.
5. Якщо цього року у вас вже був день народження додайте 1760, якщо ще ні — 1759.
6. З отриманого числа відніміть ваш рік народження і назвіть що у вас вийшло.

З названого результату легко знайти вік глядача і задумане число.

Дві останні цифри — вік глядача на цю ж дату в 2010 році, і, додавши 6 можна легко визначити вік зараз. Якщо відкинути ці дві останні цифри — отримуємо задумане число.
Жодного обману, лише трохи знання алгебри.
Позначимо задумане число (ми його ще не знаємо) через ікс (тобто x).

Розрахунки, які виконує глядач:

2x
2x+5
(2x+5)´50

Якщо вже був день народження, отримуємо

(2x+5)´50+1760=100x+2010

Якщо дня народження в цьому році ще не було — отримуємо 100х+2009

Глядач віднімав від отриманого числа рік народження і отримав 100x + свій вік на цю ж дату в 2010 році. Вік нашого глядача в 2010 році це одно- чи двозначне число, і число, яке ми отримуємо, якщо відкинути дві останні цифри це x, тобто задумане число. Звичайно, можна в 2016 році просити додавати 1766 чи 1765 і отримати дві останні цифри, що дорівнюють віку глядача — але краще зберегти трошки більше інтриги і не робити результат занадто очевидним.

Параметри фокусу можна міняти залежно від року, вік у якому ми визначаємо. Параметр 1760 = 2010 (потрібний рік) — 5´50

Антураж фокусів

Щоб зробити фокус більш видовищним (та не дати можливості глядачеві спробувати вас обдурити і сказати що він задумав інше число) — попросіть написати задумане число на папері, не показуючи вам, та покласти в коробку.

Потім відкриєте коробку та продемонструєте записане число — ви “вгадали” правильно!

Успіх фокусів залежить від правильності розрахунків, які будуть виконувати вибрані глядачі. Якщо глядач помилиться у своїх розрахунках — ви не вгадаєте задумане число чи дату народження, і фокус не вийде. А в очах глядачів винними будете ви — ви ж взялися вгадувати! Тому краще мати дошку, на якій вибрана в залі “жертва” буде виконувати розрахунки — щоб їх бачили інші глядачі і контролювали правильність. Звісно, фокусник не має бачити цю дошку.

Варіація фокусу — просимо помножити задумане число на 4, додаємо 5 і множимо суму на 50 — далі повторюємо ті ж операції залежно від дня народження. Знову припускаємо, що наш глядач молодший за 100 років, тому його вік це двозначне число, і число, яке ми отримуємо, якщо відкинути дві останні цифри це 2x, тобто подвійне задумане число. Тут варто обмежити число, яке ми дозволяємо задумати — щоб ви легко могли запам’ятати подвійне число і поділити його усно на 2. Якщо глядач точно старший наприклад 16 років — можна просити додавати 1750 чи 1749 (залежно від того, чи був вже в цьому році день народження) — щоб отримати його вік в 2000 році. Немає проблем з визначенням негативного значення віку в якомусь році (це кількість років в тому році до народження людини) — але це трохи ускладнить розрахунки.

Загальний принцип фокусів цього типу — виконуємо певні операції з задуманим числом та віком, таким чином, щоб з двох останніх цифр можна було отримати вік, з інших цифр — задумане число.

В інтернеті є багато описів фокусів такого типу — але будьте уважні, в описах часто не вказується, для якого саме року підходять параметри фокусу.

Якщо ми знаємо вік глядача і немає ніякого сенсу його вгадувати — тоді пропонуємо вгадати лише задумане число, чи також пропонуємо загадати вік іншої людини (до 100 років).

Ще одна варіація фокусу — “вгадуємо” дату народження (наприклад, в форматі числа, перша цифра чи дві перші цифри якого це день, а дві останні цифри — номер місяця). Глядач має спершу помножити дату народження на 2, додати до отриманого числа 5, помножити результат на 50, додати місяць народження та сказати остаточний результат. Якщо відняти 250 від цього числа — отримане тризначне чи чотиризначне число одразу дає нам дату та місяць народження глядача. Ми додаємо до першого результату множення 5 для того, щоб зробити результат, який нам повідомить глядач, менш очевидним. Тут ми також можемо змінювати параметри фокусу: просимо помножити дату наприклад на 6, додати до отриманого числа 15, помножити результат на 50, додати місяць народження та сказати остаточний результат. Тепер, для того щоб отримати дату (перші дві цифри) та місяць (останні дві цифри) — ми маємо розділити остаточний результат на 3 та відняти 250.

Різниця будь-якого натурального числа та суми його цифр завжди ділиться на 9

На цьому принципі базуються дуже багато математичних фокусів — для деяких крім математики потрібно також трохи тренування.

Даємо глядачу коробку з сірниками, відвертаємось чи закриваємо очі. Просимо глядача залишити в коробці якусь частину сірників (більше 10) і заховати інші. Сірники в коробці треба порахувати і знову викинути певну кількість сірників, що дорівнює сумі цифр тієї кількості сірників, яку глядач залишив в коробці.

Тепер просимо розсипати на столі ті сірники які залишились — і тепер ми зможемо їх миттєво “порахувати” — правда, до цього доведеться навчитись швидко на око визначати 9, 18, 27, 36, 45, 63 і так далі сірників (числа, кратні 9).

Якщо число ділиться на 9, сума його цифр також ділиться на 9

Закреслена цифра

Просимо глядача задумати число (наприклад, 4-значне — хоча обмеження кількості знаків залежить від вашої здатності рахувати в умі), помножити його на 9, закреслити в ньому одну цифру крім 0 чи 9 і назвати суму інших цифр. Знання того факту, що сума всіх цифр разом з викресленою має ділитись на 9, дозволить легко визначити викреслену цифру — вона дорівнюватиме різниці названого вам числа та найближчого більшого числа, яке ділиться на 9.

Наприклад, глядач задумав число 6283, порахував, що 6283´9=56547 і викреслив цифру 5. Сума цифр, що залишились, дорівнює 22, найближче більше число, яке ділиться на 9 — це 27, значить, викреслена цифра 27-22=5.

Якщо б ми дозволили викреслювати цифри 0 чи 9 — сума цифр, що залишились, все одно ділилася б на 9, і ми не змогли б визначити, яка з цих цифр була викреслена. Фокус буде більш видовищним, якщо ми не будемо просити не викреслювати 0 та 9 — а заготуємо табличку з сотні 3-4 значних чисел на вибір — таких, щоб результати їхнього множення на 9 не містили цифр 0 та 9.

Цей фокус можна поєднати з попереднім — можна викреслювати цифри не з якогось числа, помноженого на 9, а з різниці числа та суми його цифр (ця різниця завжди ділиться на 9).

Для подібного фокусу можна також використати ознаку ділення на 11 — але тут доведеться попросити у глядачів дві спроби на вгадування закресленої цифри. Цей фокус буде більш цікавим, тому що про ознаку ділення на 11 аудиторія як правило ніколи не чула. Число ділиться на 11, якщо різниця сум його цифр “через одну” ділиться на 11.

Наприклад, число з цифрами abcdefhg ділиться на одинадцять, якщо різниця суми червоних та суми чорних цифр ділиться на 11.

Просимо викреслити першу чи останню цифри, щоб збереглися “кольори” цифр, які залишилися. Хай, наприклад, глядач викреслить цифру 4 — тоді залишком від ділення різниці сум цифр “через одну” буде 4 або 11-4=7. Для такого залишку першою можна назвати цифру 7 або 4, якщо не вгадали — тоді інша цифра з цієї пари. Для залишку 2 та 9 — викреслена цифра 2 або 9, для залишку 3 та 8 — викреслена цифра 3 або 8, для залишку 5 та 6 — викреслена цифра 5 або 6. Для залишків 1 та 10 варіант лише один — викреслена одиниця, якщо різниця суми цифр ділиться на 11 — викреслена може бути лише цифра 0. Видовищність фокусу додадуть невеликі призи глядачу, що веде розрахунки, якщо фокусник не вгадав правильну цифру з першого разу.

Відгадуємо результат обчислень

У фокусах цієї групи ми також просимо задумати якесь число та провести з ним обчислення. Основний принцип — отриманий результат запропонованих глядачам обчислень ви знатимете наперед, і він не залежатиме від задуманих учасниками чисел.

Зовсім простий дитячий фокус — просимо загадати число від 1 до 20 (позначимо через x), і помножити це число на 3.
Глядачі мають отримати 3x. Потім просимо додати до 3x 24, поділити отриманий результат на 3 і відняти від нього задумане число.
Тепер легко вгадати, що отримають глядачі: (3x+24):3=8. Вгадали!

Трошки складніший фокус — підійде для аудиторії третьокласників і для дорослих.

Просимо задумати трьохзначне число — таке щоб друга цифра була менша за першу, а третя менша за другу. Алгебраїчний запис такого числа: 100a+10b+c.

З задуманого числа віднімаємо “перевернуте” число 100c +10b+a. “Перевертаємо” результат і додаємо його до раніше отриманої різниці.
А тепер “вгадуємо” отриману суму — це 1089.

Наприклад, нашим умовам відповідає задумане число 432.

Глядачі виконують обчислення:

432-234=198
198+891 дійсно дорівнює 1089.

Це легко довести —
100a+10b+c – (100c +10b+a) = 100 (a-c) + c-a = 100(a-c-1) +90 +(10+c-a).

Отриманий результат завжди

100(a-c-1) +90 +(10+c-a) плюс перевернуте число 100(10+c-a) +90 +(a-c-1) =
= 900+180+9=1089

Фокус можна зробити більш видовищним — якщо ще до початку задумування глядачами числа покласти в конверт листочок з числом

1089

і після всіх розрахунків показати результат вгадування!

Битва екстрасенсів

Цей тип фокусів враховує і маловідомі за межами спільноти любителів математики правила, і психологічні закономірності. Тут ми не гарантуємо 100% вгадування — лише велику ймовірність.

Наприклад, можна зробити список з кількох сотень 4-5 значних чисел (в списку має бути досить багато чисел щоб ви не могли їх запам’ятати) які є квадратами натуральних чисел (звісно, цього говорити не треба), і попросити глядачів виписати на дошці (процес виписування ви не бачите) 10-20 чисел з цього списку, і глядач має також написати серед них кілька довільних придуманих ним чисел — і потім ви маєте вгадати, які числа написав сам глядач. Дуже ймовірно, що він напише числа, які якось відрізняються від чисел зі списку — наприклад, з іншими останніми цифрами (а квадрати натуральних чисел можуть мати останніми цифрами лише 0,1, 4, 5, 6 та 9 — але не 2, не 3, не 7 і не 8, якщо остання цифра 5 — тоді останні дві цифри квадрату мають бути лише 25; якщо остання цифра 0 — дві останні цифри квадрату мають бути нулями, якщо число ділиться на 3 і не ділиться на 9 — воно не буде квадратом; якщо остання цифра парна, щоб число могло бути квадратом — число з двох останніх цифр має ділитись на 4 — і так далі) — тобто переважну більшість не квадратів, виписаних людиною яка не знає секрету, вирізнити буде досить просто — і для звичайного глядача це виглядатиме як “телепатичне” вгадування.

Знання математичних фокусів допоможе не потрапляти у тенета шахраїв

Знання математичних фокусів та ознак подільності багато разів допомагало мені зупинити бажаючих мене обдурити. Якщо всі ціни діляться на 5, а продавець називає суму, яка на 5 не ділиться — тут щось не те, і можна одразу вимагати перерахунку. Колись на початку 90-х років, коли зарплату в моєму інституті не платили і доводилось заробляти перекладами, знання ознаки подільності на 3 допомогло переконати роботодавців, що вони не заплатили мені за всю роботу. Бізнесмени намагались довести, що вже сплачена сума за 35 сторінок (багатозначне число інфляційних часів) і є сплатою за всю роботу з 123 сторінок. Я швидко вголос порахувала суму цифр числа, і сказала що це не може бути оплатою за 123 сторінки бо не ділиться на 3. Шокований такими аргументами роботодавець швидко виплатив залишок суми.

Прийоми, схожі на описані фокуси, часто використовують організатори різних шахрайських лотерей та конкурсів. Наприклад, оголошують “призові акції”, де нібито виграють люди, для яких з розрахунку на основі їхньої дати народження отримується певне число — хоча насправді це ж число отримується для будь-якої дати, і шахраї лише імітують “лотерею”.

Наприклад, в 2014 році одна шахрайська фірма проводила “розіграш” 279 тисяч гривень для людей, для яких число

(рік народження — 154 (нібито номер лотереї) + вік в 2014 році) ´150 = 279000

Проте, рік народження + вік в 2014 році = 2014,

і завжди (2014-154) ´150 = 279000 — тобто “виграш” лише імітується для того, щоб примусити людей купити якусь непотрібну річ для того, щоб “виграти” значну суму (яку звісно ніхто не отримає).

---

Де можна прочитати про математичні фокуси:

• Мартин Гарднер “Математичні дива та таємниці”
• Яків Перельман “Жива математика”
• Борис Кордемський “Математична кмітливість”