Мрії і розмірковування… Який чудовий вид діяльності.
 
Нема сумнівів з приводу того, що для більшості з нас дуже приємно ліниво думати про Сонце, море (або океан), тепленьке місцечко, уявити собі піщаний пляж з великою кількістю красивих дівчат (або хлопців, якщо то є ваша примха). Але іноді, іноді, людина просто не може нічого вдіяти з собою і починає думати про щось більш складне: головоломки, загадки, математичні парадокси. Назвіть це вправою для мізків, якщо хочете. Я сама завжди любила спробувати уявити собі чотиривимірний куб – (тричі) чотири рази проклята фігура має свою назву, тесеракт (яку я постійно забуваю).
 
Ми, люди на Землі, є три-вимірні об'єкти. Ну, якщо бути більш правильними, ми живемо в 4-мірному просторово-часовому континуумі, але якщо не чіпати час, ми все ж таки застрягли у звичайнісіньких 3-х вимірах простору: ширина, висота і довжина.
 
Так от, те, про що я збираюся говорити, потребує крапинку уяви, тому включіть її, розслабтеся і спробуйте вирішити цю головоломку.


Автор цих рядків провів багато годин, намагаючись уявити собі, як 4-вимірний куб, тесеракт, повинен виглядати (часто гублячи сон через це). Дозвольте мені сказати вам прямо, без евфемізмів, – це неможливо. Але, якщо мати це на увазі і не впасти в розпач, то такі міркування привели мене до деяких цікавих висновків і умовиводів, якими я хотіла би поділитися (якщо чесно, я просто вже не можу все це утримувати).
 

Основи

 
Таким чином, ми, бідні душі 3-D світу, озброєні лише нашою уявою, можемо мати наступне.
 
Почнемо з самої фігури. Для того щоб це було більш ясно, то ми побудуємо тесеракт, починаючи з 0 вимірів і піднімемося до 4.
 

Нульовий вимір

 
або 0-D є точкою:
 
Чудова річ точка – вона не має довжини, ні ширини, ні висоти, але вона присутня у всіх вимірах мислимих і ні. Чесно кажучи, точка в 1000-вимірному світі все одно буде точкою. Точно про неї «Та що ім'я? Назви хоч як троянду, Не зміниться в ній аромат солодкий!».
 

Одно-вимірний простір

 
Піднявшись до 1-D маємо пряму. Якщо у вас є 2 точки, то у вас завжди є принаймні один вимір:

 

Дву-вимірний простір

 
Підійшовши до 2-D ми можемо мати площину. Але, як старі добрі підручники з геометрії вчать, вам потрібно всього лише 3 точки для формування площини:
У всякому разі, -> квадрат (ну, я намагалася представити його як такий)
 

Три-вимірний простір

 
Поки все добре. Але тепер, коли ми посунемося на один вимір вище, ми стикаємося з нашою першою проблемою – як показати це на папері, тобто у 2-D?
Проте досвід допомагає нам і ось нам проекція 3-D кубу.
 

Чотири-вимірний простір

 
Ми досить непогано просувалися досі, і, здається, знайшли певний принцип:

Можливо, якщо екстраполювати, додати ще один куб і з'єднати їх разом?..

Ось і фігура, якої ми прагнемо, 4-D куб, або принаймні його проекція на 2-D папір.
 
Проблема в тому, що всі відрізки (сторони і ребра) повинні формувати кут у 90°, і всі чотирикутники повинні бути квадратами. Важко собі уявити? Не хвилюйтеся, це, ймовірно, так само важко уявити 4-D куб вам, як це було б важко для гіпотетичної дву-вимірної людини уявити собі 3-D куб (вибачте, якщо я ненароком образила когось з дву-вимірних людей, – не турбуйтеся, є ще гіпотетичні одно-вимірні люди з труднощами уявлення 2-D квадрату, і я вже мовчу про нульово-вимірних істот, хе-хе).
 
Ну добре, продовжуємо. Існує насправді ще один спосіб уявити собі проекцією тесеракту, який також має два 3-х мірних куби з'єднаних один з одним:

Ці дві фігури виглядають абсолютно по-різному, і все ж вони є проекціями одного і того ж гіперкубу. Дозвольте мені навести вам приклад, щоб роз'яснити ситуацію.
3-D куб може бути показаний на 2-D папері так ->
але якщо ви повертаєте його трохи у вас може бути щось зовсім інше ->
 
Чудово, вам не здається?
 

Над чим замислитися

 
Трохи розібравшись з основами давайте перейдемо до чогось більш цікавого, до якогось матеріалу для мізків для пожування і погризання.
 

1.

 
Точно так само як, коли 3-вимірний хтось обертаючи 3-D куб може мати його схожим у проекції на 2-D квадрат – коли решта кубу прихована однією з його сторін, – то 4-вимірний спостерігач може обертати 4-D тесеракт так, що він буде виглядати як 3-D куб, але 4-D гіперкуб вже не може виглядати, як 2-D квадрат в перспективі (так само, як наш звичайний 3-D куб не може бути повернений так, щоб бути схожим на одно-вимірний відрізок, але 2-вимірному квадрату вдається такий фокус).
 

2.

 
Не має ніякого значення те, що проекція тесеракту виглядає дуже складною, – його вершини всі «прямокутні», але замість трьох (або двох) взаємно-перпендикулярних відрізків, що перетинаються в одній точці, він буде мати чотири, так що край все ще «гострий» =]
 

3.

 
Так само, як ми можемо розгорнути 3-D куб і мати щось на зразок цього ->
 
ми можемо мати розгорнення 4-D тесеракту:

Вам просто треба це все знову згорнути, і voilà, ось що є тесерактом =]

 
Ви все ще зі мною, мої біднесенькі читачі? Чудово, якщо так. Ми розглянули «нудну» частину «цікавих» висновків. Тепер айда до найбільш цікавих частин – наш великий фінал.
 

4.

 
Ми, 3-D люди, все ж таки дивимося на світ у 2-D. Звичайно, у нас є два ока, і шляхом поєднання інформації від них обох мозок може сотворити в уяві глибину картини. Бідний піратський капітан з одним оком має серйозні неприємності, коли він намагається з'ясувати, як далеко стоїть пляшка рому, і тільки постійні (п'яні) погойдування з боку в бік можуть допомогти йому дістати її і не розлити чи, боронь Боже, розбити.
 
Гм, повернемося до прямих кутів.
 
Коли ми дивимося на 3-D куб, завжди є сторони, що направлені в протилежний бік: насправді тільки 3 сторони з його 6-ти можна побачити в той самий час. І мозок може бути обдурений – що виглядає як куб, дійсно може бути чимось зовсім іншим (ось гарний приклад — відео). Але 4-вимірний спостерігач не буде обдуреним – для нього ця 3-D фігура буде видною з усіх сторін відразу (якщо дивитися з 4-го виміру).
 
Захоплююче, чи не так? Дозвольте мені пояснити. Уявіть собі двовимірних істот, що живуть на площині. Все, що навколо них, буде виглядати як точки і/або як лінії. Незалежно від того, чи та фігура у їх прямій видимості є трикутником, або лінією, або чимось ще, вони не будуть знати що це, поки вони не обійдуть навколо неї, або покрутять чи розгорнуть її.
 
Але для нас, 3-D народу, як ми спостерігаємо за фігурою з 3-го, перпендикулярного, виміру, це дуже ясно, яку форму вона має, тому що ми бачимо всю її відразу.
 
Так 4-D істоти зможуть побачити 3-D тіло все одразу, і не було б таких сторін, що дивилися в протилежну сторону.
 

Примітка на полях: якщо ви можете собі уявити 3-D куб весь відразу, без розгортання його – вітаю, ви майже 4-вимірна людина! =]

 
Як я вже (сказала) надрукувала раніше, захоплююче! Але далі ще краще.
 
Якщо хтось може дивитися на об'єкт з усіх сторін одразу, для даного об'єкту це є не що інше, як він спостерігається з усіх сторін… водночас. Припустимо, ми маємо 4-вимірного спостерігача, таке собі 4-D око, що дивиться на 3-D куб з 4-го виміру, не приходячи в контакт з жодним із 3-х вимірів кубу. Заради експерименту припустимо, що куб може «побачити» таке око (насправді, фізично таке не можливо. Якщо 3-D куб бачить 4-вимірне око, то це значить, що він бачить три з чотирьох вимірів цього ока – його тривимірний зріз, а решта – 4-й вимір – для куба не видно. Але наш експеримент – суто уявний, ми робимо припущення, засновок. Логіка нам каже, що вона не розбиратиметься з тим, чи є правдивим засновок, а лише має справу с тим, чи правильні є ті висновки, які виходять з цього засновку. Так от, наш засновок полягає в тому що "Є око, що дивиться на 3-D куб з 4-го, перпендикулярного, виміру. 3-D куб відчуває це око"). Так от, цей куб не побачить таке око десь в одному конкретному місці – якщо око його бачить з усіх сторін водночас, то куб побачить нескінченну кількість ока навколо нього усюди. Бідоласі мабуть було б страшно. Але не хвилюйтеся, тому що якщо ви спостерігаєте за 2-D істотою, і якщо вона «відчуває» (хай то буде 6 відчуття, чи що завгодно) ваше спостерігання, вона буде відчувати себе спостереженою з усіх боків відразу, муахахахахаха! *
 
Це приблизно все, що я хотіла сказати з приводу цього питання. Я сподіваюся, ви знайшли його настільки ж цікавим, як я і я. (Ні, я не божевільна, просто допитлива)
 
Але на десерт я можу дати вам вирішити два питання:

 
1. Тесеракт, який я намалювала, має пунктирні лінії, щоб показати сторони, що дивилися в протилежну сторону. Чи була я права використовуючи пунктирні лінії? Всі?
 
2. Чи було б легше для нас побачити 3-D куб істинним 3-D чином, якщо у нас було б троє очей, і 3-тє було б розташовано далеко від інших? Може, комахи дійсно є більш еволюційно просунутими, ніж ми… не кажучи вже про павуків.

 
--------------------------------
* Через багаторазові суперечки з (нудними) фізиками хочу ще раз наголосити: це є лише уявний експеримент! На справді, якщо хтось 3-D спостерігає за кимось 2-D не контактуючи з площиною цього 2-D когось, то цей 2-D хтось ніяк не відчує спостерігача. Але наше припущення – лише для уяви і логічних розмірковувань. Ну включіть свою уяву! Пам'ятаєте, що в підручниках про логіку пишуть? «Якщо королева багата, то свині вміють літати» – достатній засновок, щоб потім розмірковувати «Якщо королева бідна...» і не думати «А свині літати не вміють, не вміли і ніколи не вмітимуть і взагалі це абсурд, і чому треба прив’язувати королеву і свиней». Логіка нам дозволяє вирішувати загадки з «Непробивною стіною і всеруйнуючою гарматою» та з і іншими фізично не існуючими речами.